Ejercicios

EJERCICIOS DE PERMUTACION

1.- ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa?

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación

n = 25,      r = 5

₂₅P₅ = 6,375,600 maneras de formar la representación

2.-  a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? B. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera

n = 8,   r = 8    ₈P₈ = 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida

8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

n =8,   r = 3    ₈P₃ = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera 

3.- ¿Cuántos puntos de tres coordenadas  ( x, y, z ), será posible generar con  los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si,  a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

a) n = 6,     r = 3    ₆P₃ = 120 puntos posibles

b) por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

4.- a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?

A) n = 12,    r = 5    ₁₂P₅ = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego

B) 1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego

1 x ₁₁P_{4 =} 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego

C) 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego

1 x 1 x ₁₀P₃  = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas

5.- ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9.  Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números.

26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso

₂₆P₂ x ₁₀P₅ = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6= 19,656,000 claves de acceso sin repetir letras ni números.

6.- ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un coche?

Son permutaciones de 5 elementos  P_{5 =} 5x4x3x2x1= 120

7.- En una carrera de 400 metros participan  10 atletas. ¿De cuantas formas  distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?

Oro         plata    bronce

10    x       9       x  8 =      720 maneras

P¹⁰₃ = 10/7 = 7*8*9*10 / 7 = 720

8.- Hay 7 candidatos para desempeñar 3 tareas, si todos los candidatos son igualmente eficientes, ¿De cuántas maneras se puede efectuar la asignación?

P_7,3 = 7/ (7-3) = 7/4 = 7·6·5·4/4 = 210

9.- En un proceso de manufactura hay seis operaciones distintas, que se indican con A, B, C, D, E y F. En general no existe una secuencia fija para las operaciones, con la salvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final. ¿Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir?

A  B  C  D  E  F

P₄ = 4! = 24 formas diferentes

  Ejemplo:                         

Si n = 5     y     r = 3

  P_5,3 = 5/(5-3) = 5/2 = 5·4·3·2 ÷ 2 = 60

10.- Se va a usar un librero para exhibir seis nuevos libors. Supóngase que hay ocho libros de ciencia de computación y cinco libros franceses de dónde escoger. Si se decide exhibir cuatro libros de computación y 2 franceses, y se pide mantener juntos los libros de cada tema ¿cuántos acomodos diferentes es posible hacer?

Sean C los libros de ciencia de computación y F los libros Franceses, entonces; las formas en que pueden exhibirse son:

CCCCFF

o

FFCCCC

para que así puedan estar juntos. Entonces, las formas en que se pueden combinar los libros de ciencias de la computación son:

C8,4 = 8! / (8-4)!4! = (8)(7)(6)(5)4!/ 4!4! = 1680/24 = 70

las formas en que se pueden combinar los libros franceses son:

C5,2 = 5! / (5-2)!2! = (5)(4)3! / 3!2! = 20/2 = 10

entonces, las formas en que pueden exhibirse los libros son:

N = 2(70)(10) = 1400 formas

                                EJERCICIOS DE COMBINACION

1.-  En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

C³₃₅ = 35·34·33 ÷ 3·2·1 = 6545

2.- En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

C⁴ _{5 =} (5+4 – 1) ÷ 4 (5 – 1) = 8÷ 4·4 = 70

3.- ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Son c²₅, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

C²₅ – 5 = 5·4 ÷ 2 -5 = 5 Diagonales

C³₅ = 5·4·3 ÷ 3·2 = 10 Triángulos

4.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

C²₅ · C³₇ = 10·35 = 350

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

C²₅ · C²₆ = 10·15 = 150

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

C²₃ · C³₇ = 3·35 = 105

5.- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

C⁶₄₉ = 49 ÷ (49-6) ·6 =  13983816

  

6.- Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a. ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b. ¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c. ¿Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d. ¿Cuántas maneras tiene si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas?

Solución:

a. n = 12, r = 9

                               12C9 = 12! / (12 – 9)!9!

                           = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3!

                           = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen

b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que están las dos primeras preguntas

c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras preguntas

d. d. En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas

 3C0*9C9  +  3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar

7.-  Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos,

a. n = 14,  r = 5

                                           ₁₄C₅ = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!

                                         = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!

                                         = 2002 grupos

8.-¿De cuantas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?

Nótese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez.

Por lo tanto, hay V10;4 = 10!=6! = 10 ¢ 9 ¢ 8 ¢ 7 = 5040

9.- Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, b. ¿cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

Solución:

a. n = 11,    r = 5

      ₁₁C₅ = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5!

                = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5!

                = 462 maneras de invitarlos

Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar.

 b. Esta señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja.

₂C₀*₉C₅   +    ₂C₂*₉C₃ = (1 x 126)    +   (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos

      En este caso separamos a la pareja de los demás invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.

       c. La señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.

      ₂C₀*₉C₅    +    ₂C₁*₉C₄ = (1 x 126)    +    (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitación

10.- En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. ¿Cuántas de las líneas no pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos tienen el lado AB?.

Solución:

a.       En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación a las preguntas que se hacen.

Una línea puede ser trazada a partir de cómo mínimo dos puntos por lo tanto,

     ₁₀C₂ = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45  líneas que se pueden trazar

b.      En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrán las líneas.

      ₂C₀*₈C₂  = 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B

c.       Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;

₁₀C₃ = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar

d.      En este caso se separa el punto A de los demás, se selecciona y     posteriormente también se seleccionan dos puntos más.

₁C₁*₉C₂ = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el punto A

e.       Los puntos A y B forman parte de los triángulos a trazar por lo que;

₂C₂*₈C₁ = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el lado AB

Ejercicios de distribución normal

1.-  El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y  una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?

Solución:

x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas

m = 0.635 pulgadas

s = 0.082 pulgadas

                  X= 7/16        μ=0.635

Z= (7/16)-(0.635) / 2 = (0.4375)-(0.635) / 0.082 = -2.4085 ≈ -2.41

p(z = -2.41) = 0.492

p(x < 7/16 pulgadas) = 0.5- p(z = -2.41) = 0.5-0.492 = 0.008

Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas

2.- Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál esla probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio?

P (X< 24.5 horas) = 4.85%

μ= 30 horas de duración

0= 3 horas

N= 100 pilas

Z= 1.6

P = 0.5 – 0.4515 = 4.85%

                                                            24     24.5

3.- Se toman 36 observaciones de una máquina de acuñar monedas Conmemorativas, el espesor promedio de las monedas es de 0.20 cm y una desviación de 0.01 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del espesor de las 36 monedas supere los 0.21 cm?

P (X<0.21 cm) = 0%

Z = 0.21-0.20 / 0.0016 = 6.25

                                                         20         21

4.- La prueba enlace tiene una distribución normal de media μ= 6.8 y desviación típica σ= 1.6 para estudiantes de primero de bachillerato.

¿Qué probabilidad hay de que se obtenga un valor menor de 5?

P (X<5)

Z = 5-6.8 / 1.6

Z = 1.12

.5000- .3686 = .1314

                                         5              6

5.-  ¿Cuál es la probabilidad de que la altura de un edificio escogido al azar este entre 8.73 y 7.78m? Si una variable aleatoria tiene la distribución normal de μ= 11.76 y σ = 2.6

P (7.78 <X> 8.73)

Z₁ = 8.73-11.76 / 2.6  = 1.16

Z₂ = 7.78-11.76 / 2.6  = 1.53

.4370-.3770 = 0.6

                                         7.78   8.73  11.76

6.- La vida de un cactus tiene una distribución aparentemente normal con una vida de promedio 200 años y una desviación estándar de 50 años ¿Cual es la probabilidad de que dure entre 140 y 250 años?

μ= 200

σ = 50

x₁ = 250

x₂ = 140

Z = (X-μ) / σ   

Z₁ = (250-200) / 50 =1

Z₂ = (140-200) / 50 =-1.2

.3849-.3413 = 0.0436

                                                  140 200 250

7.- La señora victoria cada mes va a ponerse uñas postizas con sus amigas, no todas tiene los mismos gustos, a algunas les gustan que sean muy largas, y a otras no tanto. Dada la distribución normal con una media μ=0 y σ=1 . ¿Cuál es la probabilidad de que las amigas de victoria pidan que el largo de sus uñas sean entre 1.57 y 1.84 cm?

P (1.57 <X> 1.84)

Z₁ = 1.57-0 / 1

Z₁ = 1.57

Z₂ = 1.84-0 / 1

Z₂ = 1.84

.4671-.4418 = 0.0253 

                                                        1.57   1.84

8.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se

Distribuye normalmente con media 6.5 y varianza 4.

a)  Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.

b)  Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. 

A)                                                          6.5        8

                                                            0.75

Tipificamos el valor 8 :   z = 8- 6.5 / 2 = 0.75

La probabilidad pedida es el área a la derecha de z = 0.75.

Consultando las tablas obtenemos:    0'22663

B)                                      5               6.5

                                       -0.75

Tipificamos el valor 5 :  z=  5- 6.5 /2 =  -0.75

Calculemos el área (probabilidad) a la izquierda de z = -0'75.

Consultando las tablas obtenemos:    0'22663

Ejercicios de distribución binomial

1.- En el año 2005-06 en una granja de las proximidades de Zaragoza, el 80% de las cerdas en celo fueron inseminadas con éxito. ¿Cuál es la probabilidad de que inseminemos con éxito al menos a 3, si cogemos un grupo de 10 cerdas al azar?

Como nos dan la probabilidad de éxito, y el número de cerdas que vamos a inseminar, sabemos que se trata de una Distribución Binomial. B (10, 0'8)

Por tanto sólo hemos de aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que nos piden la probabilidad de éxito en al menos 3 cerdas inseminadas, es decir, la probabilidad de que tengamos éxito en más de tres cerdas. Aplicamos la fórmula de la Distribución Binomial en  P( X>3).

P (X>3)= 1- P (X<3) = 1- [P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)]= 0.99

Tenemos un 99% de probabilidad de  que queden inseminadas más de 3 cerdas

2.- Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos

Solución:

a) n = 5

x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos

x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano

p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75

q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

                               

p (x=2, n=5, p= 0.75) = ₅C₂ (0.75)² (0.25) ^5-2 = (10)(0.5625)(0.015625) = 0.08789

3.- Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que el vapor se condense en 4 de los tubos.

Solución:

a) n =12

x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa

x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa

p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40

q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60

           

p(x=4, n=12, p=0.40) =₁₂C₄ (0.40)⁴ (0.60)^12-4 = (495)(0.0256)(0.016796) =

     

                                                  = 0.21284

4.- Unas figurillas de porcelana se venden a 10 dolares si no tiene imperfecciones, y a 3 dolares si la presentan. Entre las figurillas de cierta compañía, 90% no tiene imperfecciones y 10% si las tienen. En una muestra de 100 figurillas ya vendidas, sea Y el ingreso por su venta y X el numero de estas que no presentan imperfecciones.

Exprese Y como función de X

Y = 7X + 300

Determine μ, Y

Y = 900+ 30 = 930

Determine σ² i  el resultado es 21

5.- La probabilidad de que un articulo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02  . Se envió un cargamento de 10 000 artículos a unos almacenes, hallar el numero esperado de artículos defectuosos.

μ, = (10000) * (0.02) = 200

σ² = (10000) * (0.02) * (0.98) = 196

σ = √196 = 14

6.- El 25% de los candidatos fallan en una prueba de selección. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 15 fallen 9 de ellos?

μ (15)(.25) = 3.75      σ=√15(.25)(.75) = 1.67

nq = (12)(.75) =9

p: .25

q: .75

n: 15

x: 9

P (9) = ₁₅ C ₆ (.25)¹⁵  (.75)^15-9 = 0.000000829